Drgania tłumione
- Równanie: \(m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0\)
- Rozwiązanie: \(x(t) = Ae^{-\beta t}\sin(\omega' t + \varphi)\)
- Współczynnik tłumienia: \(\beta = \frac{b}{2m}\)
- Częstość tłumiona: \(\omega' = \sqrt{\omega^2 - \beta^2}\)
- Dekrement tłumienia: \(\delta = \ln\frac{A_n}{A_{n+1}} = \beta T\)
Drgania wymuszone
- Równanie: \(m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\omega_w t)\)
- Amplituda wymuszona: \(A_0 = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_w^2-\omega^2)^2 + b^2\omega_w^2}}\)
- Przesunięcie fazowe: \(\varphi = \arctan\left(\frac{b\omega_w}{m(\omega_w^2-\omega^2)}\right)\)
Energia w ruchu harmonicznym
- Energia potencjalna: \(E_p = \frac{1}{2}kx^2\)
- Energia kinetyczna: \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\)
- Energia całkowita: \(E = \frac{1}{2}kA^2\)
Przykłady układów drgających
- Wahadło matematyczne: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)
- Wahadło fizyczne: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{mgl}}\)
- Wahadło cieczowe: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m_c}{2S\rho g}}\)
- Obwód LC: \(\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}\)
Rezonans
- Częstość rezonansowa: \(\omega_{rez} = \sqrt{\omega^2 - 2\beta^2}\)
- Amplituda rezonansowa: \(A_{max} \approx \frac{F_0}{2\beta\omega_0}\)
- Współczynnik dobroci: \(Q = \frac{\omega_0}{2\beta}\)
Różnica faz
- Położenie: \(x(t) = A\sin(\omega t + \varphi)\)
- Prędkość: \(v(t) = \omega A\cos(\omega t + \varphi)\) (przesunięcie o \(\pi/2\))
- Przyspieszenie: \(a(t) = -\omega^2 A\sin(\omega t + \varphi)\) (przesunięcie o \(\pi\))
Ruch harmoniczny prosty
- Równanie ruchu: \(m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx\)
- Rozwiązanie: \(x(t) = A\sin(\omega t + \varphi)\)
- Częstość kołowa: \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)
Składanie drgań
- Równoległe: \(x = 2A\cos\left(\frac{\Delta\omega}{2}t\right)\cos(\omega t)\) (dudnienia)
- Prostopadłe: figury Lissajous dla \(\omega_x/\omega_y = n_x/n_y\)
Wielkości charakteryzujące
- Amplituda (\(A\))
- Okres (\(T = \frac{2\pi}{\omega}\))
- Częstotliwość (\(f = \frac{1}{T}\))
- Faza początkowa (\(\varphi\))
Zmiany energii
- Maksymalna energia potencjalna: \(E_{p,max} = \frac{1}{2}kA^2\)
- Maksymalna energia kinetyczna: \(E_{k,max} = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\)
- Wymiana energii między \(E_p\) i \(E_k\) przy zachowaniu \(E_{total}\)